Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por . Esse tipo de equação é chamada de homogênea, e para solucioná-la, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a relação entre e .
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição . Isso significa que .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Passo 4
Substituímos e na equação diferencial original:
Passo 5
Agora, temos a seguinte equação:
Subtraímos de ambos os lados:
Passo 6
Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Substituindo :
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é , onde é a constante de integração.