Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
y' = y^2 / (x*y + y^2)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por . Esse tipo de equação é chamada de homogênea, e para solucioná-la, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:

Passo 5

Agora, temos a seguinte equação:
Subtraímos de ambos os lados:

Passo 6

Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Substituindo :
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é a constante de integração.

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