Resolva as seguintes equações:
2 cos^2(theta/2) = cos^2(theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Essa é uma equação trigonométrica, ou seja, envolve funções trigonométricas como o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que relacionam o cosseno de ângulos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que liga o cosseno de um ângulo ao cosseno do dobro desse ângulo:
Essa identidade nos ajudará a simplificar a equação original.

Passo 3

Vamos substituir na equação original usando a identidade acima:
Substituindo:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática em termos de . Vamos reescrevê-la para facilitar a resolução:

Passo 5

Para resolver a equação quadrática , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, , e .

Passo 6

Calculando o discriminante ( ):
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora, vamos analisar as soluções:
  1. Não é possível, pois o cosseno de um ângulo só pode variar entre -1 e 1.
  2. Válido, pois está dentro do intervalo permitido.

Passo 8

Portanto, a solução válida para é:

Resposta

As soluções da equação são:

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Simplifique as seguintes expressões:
tan^2(theta) * cos^2(theta) + cot^2(theta) * sin^2(theta)
Simplifique as seguintes expressões:
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(16 a^2 - 25) / (2 a - 10) * (a^2 - 10 a + 25) / (4 a + 5).
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
(x^3 + 2x^2 + 4x) / (x^3 + 2x^2) * (x^2 - 4) / (x - 2)