Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você mandou: . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os coeficientes. Ela já está na forma padrão:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto do fator integrante com :
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Do lado direito:
Então:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.