Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que você mandou:
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os coeficientes. Ela já está na forma padrão:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto do fator integrante com
:
Isso facilita a integração dos dois lados.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Do lado direito:
Então:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.