Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Encontre a solução particular de para

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver: temos uma equação diferencial exata dada por e precisamos encontrar a solução particular que atende a condição inicial . Para isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão . Isso fica assim:
Aqui, e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se . Calculando:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de . A fórmula para encontrar esse fator é:
Substituindo os valores:
Então,

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a nova equação é exata porque .

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 8

A solução geral da equação é então:
Aplicando a condição inicial :

Resposta

A solução particular da equação é .

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