Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Encontre a solução particular de
para
Encontre a solução particular de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver: temos uma equação diferencial exata dada por
e precisamos encontrar a solução particular que atende a condição inicial
. Para isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão
. Isso fica assim:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se
. Calculando:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
. A fórmula para encontrar esse fator é:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a nova equação é exata porque
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 8
A solução geral da equação é então:
Aplicando a condição inicial
:
Resposta
A solução particular da equação é
.
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