Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Exata. Isso significa que a equação que temos pode ser escrita na forma
e que existe uma função potencial
tal que
e
. Para resolver, vamos precisar identificar
e
, verificar se a equação é exata e, se for, encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na equação dada:
Podemos reescrever isso como:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Como
é constante em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Substituindo
:
Portanto:
Integrando:
onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Encontre a solução particular de para
Encontre a solução particular de
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.