Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais de coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma
é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando o discriminante:
Portanto, as soluções para
são:
Passo 5
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Dadas as funções
e
, determine:
Resposta:
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