Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
. Vamos usar os conceitos de equações diferenciais lineares para resolver isso, especificamente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos
por
,
por
e
por 1. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução é uma combinação linear das funções exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solu��ão geral da equação diferencial é:
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