Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial homogênea de segunda ordem: . Vamos usar os conceitos de equações diferenciais lineares para resolver isso, especificamente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos por , por e por 1. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução é uma combinação linear das funções exponenciais correspondentes:
onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solu��ão geral da equação diferencial é:

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