Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial homogênea . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1. Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é igual a zero, temos uma raiz dupla.

Passo 5

Encontramos a única raiz:

Passo 6

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é dada por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

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