Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem dada por . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial homogênea de segunda ordem: . Uma equação desse tipo tem a forma geral , onde , e são constantes.

Passo 3

Para resolver a equação diferencial, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem é dada por:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica :
Simplificando , temos:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Como encontramos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
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Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
d)