Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial homogênea de segunda ordem:
. Uma equação desse tipo tem a forma geral
, onde
,
e
são constantes.
Passo 3
Para resolver a equação diferencial, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
:
Simplificando
, temos:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Como encontramos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
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Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
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