Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea e de segunda ordem. A equação que temos é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais simples dividindo todos os termos por 9:
Isso facilita um pouco os cálculos, mas a essência da equação permanece a mesma.

Passo 3

Agora, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem como essa é dada por:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante:

Passo 5

Como o discriminante , temos raízes reais e iguais. Então:

Passo 6

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando a primeira condição inicial :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição .
Primeiro, derivamos :
Como :
Avaliando em :
Então, .

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos a solução particular da equação diferencial:

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