Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea e de segunda ordem. A equação que temos é:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais simples dividindo todos os termos por 9:
Isso facilita um pouco os cálculos, mas a essência da equação permanece a mesma.
Passo 3
Agora, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem como essa é dada por:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Calculando o discriminante:
Passo 5
Como o discriminante
, temos raízes reais e iguais. Então:
Passo 6
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicando a primeira condição inicial
:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos derivar
para aplicar a segunda condição
.
Primeiro, derivamos
:
Como
:
Avaliando em
:
Então,
.
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos a solução particular da equação diferencial:
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.
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