Resolva as seguintes equações de ordem alta: a)
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de ordem alta
. Essa equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para isso, substituímos cada derivada por uma potência de
:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação quadrática
. Observamos que essa é uma equação quadrática em
. Vamos fazer a substituição
:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos
. Lembrando que
, temos:
Passo 5
As raízes
e
são raízes duplas, já que a equação quadrática original tinha multiplicidade 2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação é:
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Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)