Resolva as seguintes equações de ordem alta: a) .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de ordem alta . Essa equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para isso, substituímos cada derivada por uma potência de :
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação quadrática . Observamos que essa é uma equação quadrática em . Vamos fazer a substituição :

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos . Lembrando que , temos:

Passo 5

As raízes e são raízes duplas, já que a equação quadrática original tinha multiplicidade 2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação é:

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