Resolva as seguintes equações de ordem alta:
y^(IV) - 5 y'' + 4 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem que é assim: . Aqui, a gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica, que vai nos ajudar a montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, a equação é , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em . Vamos fazer uma substituição pra facilitar: seja . Assim, a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para z:
Voltando para r, já que , temos:
  • Para : então
  • Para : então

Passo 4

Com as raízes encontradas ( ), podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz real r dá um termo do tipo na solução. Assim, juntando tudo, a solução geral fica:
onde , , e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

Resposta

A solução geral da equação é:

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