Resolva as seguintes equações de ordem alta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem que é assim:
. Aqui, a gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica, que vai nos ajudar a montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, a equação é
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática em
. Vamos fazer uma substituição pra facilitar: seja
. Assim, a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Voltando para
, já que
, temos:
- Para
: então - Para
: então
Passo 4
Com as raízes encontradas (
), podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz real
dá um termo do tipo
na solução. Assim, juntando tudo, a solução geral fica:
onde
,
,
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações de ordem alta: a)
.
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (k)
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)
Resolva as seguintes equações de ordem alta: c)