Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)

Passo 1

Este exercício nos pede para resolver a equação diferencial homogênea com as condições iniciais e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiramente, vamos escrever a equação de forma padrão dividindo todos os termos por 9:

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral dessas equações é:
onde . Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial.

Passo 4

A solução geral para essa equação depende do valor de . Como , a solução será uma combinação de funções seno e cosseno:

Passo 5

Calculando a raiz quadrada de :
Então, a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:
Então:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo a condição:
Simplificando:
Como e :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações de ordem alta:
Resolva as seguintes equações de ordem alta: a) .
Resolva as seguintes equações de ordem alta: c)
Resolva as seguintes equações de ordem alta: d) .