Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)
Passo 1
Este exercício nos pede para resolver a equação diferencial homogênea
com as condições iniciais
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiramente, vamos escrever a equação de forma padrão dividindo todos os termos por 9:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral dessas equações é:
onde
. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial.
Passo 4
A solução geral para essa equação depende do valor de
. Como
, a solução será uma combinação de funções seno e cosseno:
Passo 5
Calculando a raiz quadrada de
:
Então, a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:
Então:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Segunda condição:
Primeiro, vamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo a condição:
Simplificando:
Como
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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.
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