Resolva as seguintes equações de ordem alta: d)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de quinta ordem dada por
. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver, vamos precisar utilizar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes como essa, substituímos
por
. Então, a equação característica fica:
Agora, vamos fatorar essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Observamos que
é um fator comum, então podemos fatorar:
Agora, temos duas partes:
e
.
Passo 4
Resolvendo
, fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então a equação se torna:
Agora, resolvemos essa equação quadrática.
Passo 5
Usando a fórmula de Bhaskara para
:
Assim,
ou
.
Passo 6
Voltando à substituição
:
- Para
: → ou - Para
: → ou
Passo 7
Agora, temos todas as raízes da equação característica:
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
A solução geral para uma equação diferencial linear homogênea com raízes reais e distintas é:
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 9
Substituindo as raízes encontradas:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva as seguintes equações de ordem alta: c)
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
a) .
a)
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
c)
c)