Resolva as seguintes equações de ordem alta: d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de quinta ordem dada por . Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver, vamos precisar utilizar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes como essa, substituímos por . Então, a equação característica fica:
Agora, vamos fatorar essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Observamos que é um fator comum, então podemos fatorar:
Agora, temos duas partes: e .

Passo 4

Resolvendo , fazemos uma substituição para simplificar. Seja , então a equação se torna:
Agora, resolvemos essa equação quadrática.

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para :
Assim, ou .

Passo 6

Voltando à substituição :
  • Para : ou
  • Para : ou

Passo 7

Agora, temos todas as raízes da equação característica:
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

A solução geral para uma equação diferencial linear homogênea com raízes reais e distintas é:
Onde são constantes arbitrárias.

Passo 9

Substituindo as raízes encontradas:
Simplificando :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva as seguintes equações de ordem alta: c)
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
a) .
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
c)