Resolva as seguintes equações de ordem alta: c)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial de quinta ordem:
Isso faz parte do estudo das Equações Diferenciais de Ordem Alta com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral utilizando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, identifique que estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea. Isso significa que todos os termos da equação envolvem a função ou suas derivadas, e não há termos independentes.

Passo 3

Para resolver, vamos formular a equação característica substituindo cada derivada de por , onde é a ordem da derivada:

Passo 4

Agora, vamos fatorar a equação característica. Primeiro, percebemos que é um fator comum:

Passo 5

Isso nos dá duas partes para resolver:
  1. Primeira parte:
  2. Segunda parte:

Passo 6

Vamos resolver a segunda parte. Substituímos para simplificar a equação:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática em . Calculamos o discriminante :
Como o discriminante é zero, há uma raiz dupla:

Passo 8

Voltando à substituição , temos:
Aqui, é a unidade imaginária, indicando que as raízes são complexas.

Passo 9

Com todas as raízes encontradas ( , , ), podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como a raiz é simples e as raízes são complexas com multiplicidade dupla, a solução geral é:
Onde são constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:

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Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)
Resolva as seguintes equações de ordem alta:
Resolva as seguintes equações de ordem alta: d) .
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
a) .