Resolva as seguintes equações de ordem alta: c)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial de quinta ordem:
Isso faz parte do estudo das Equações Diferenciais de Ordem Alta com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral utilizando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, identifique que estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea. Isso significa que todos os termos da equação envolvem a função
ou suas derivadas, e não há termos independentes.
Passo 3
Para resolver, vamos formular a equação característica substituindo cada derivada de
por
, onde
é a ordem da derivada:
Passo 4
Agora, vamos fatorar a equação característica. Primeiro, percebemos que
é um fator comum:
Passo 5
Isso nos dá duas partes para resolver:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Passo 6
Vamos resolver a segunda parte. Substituímos
para simplificar a equação:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática em
. Calculamos o discriminante
:
Como o discriminante é zero, há uma raiz dupla:
Passo 8
Voltando à substituição
, temos:
Aqui,
é a unidade imaginária, indicando que as raízes são complexas.
Passo 9
Com todas as raízes encontradas (
,
,
), podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como a raiz
é simples e as raízes
são complexas com multiplicidade dupla, a solução geral é:
Onde
são constantes de integração.
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: m)
Resolva as seguintes equações de ordem alta:
Resolva as seguintes equações de ordem alta: d)
.
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
a) .
a)