Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial homogênea dada: , com as condições iniciais e . Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então,

Passo 4

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Então, .
Agora, aplicamos a segunda condição . Primeiro, precisamos derivar :
Como :
Avaliando em :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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