Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial homogênea dada:
, com as condições iniciais
e
. Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Então,
.
Agora, aplicamos a segunda condição
. Primeiro, precisamos derivar
:
Como
:
Avaliando em
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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