Resolver um sistema de equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou! Esse tipo de problema faz parte do estudo das equações diferenciais lineares, onde queremos encontrar funções
e
que satisfazem as equações dadas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores, que nos ajudarão a encontrar as soluções das equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a análise. As equações dadas são:
Podemos escrever isso em forma matricial, que é uma maneira mais organizada de lidar com sistemas lineares. Assim, temos:
[
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para encontrar as soluções desse sistema, precisamos determinar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Expandindo:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada
. Os autovetores nos dão direções nas quais o sistema se comporta de maneira simples.
Para
:
Resolvemos
:
[
A - 3I =
]
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
[
A + I =
]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, temos
. Assim, o autovetor é:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução consiste em um termo exponencial multiplicado pelo autovetor correspondente. Assim, a solução geral é:
[
c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{v}_2
]
]
Substituindo os valores encontrados:
[
c_1 e^{3t}
+
c_2 e^{-t}
]
+
c_2 e^{-t}
]
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema é
[
c_1 e^{3t}
+
c_2 e^{-t}
]
+
c_2 e^{-t}
]
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Resolva as seguintes inequações:
Resolver um sistema de equações diferenciais
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(k)
(k)