Resolver um sistema de equações diferenciais
l dot x = x - y , dot y = y - 4 x r dotx-5 x-3 y=0 doty+3 x+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou! Esse tipo de problema faz parte do estudo das equações diferenciais lineares, onde queremos encontrar funções e que satisfazem as equações dadas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores, que nos ajudarão a encontrar as soluções das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a análise. As equações dadas são:
dotx = x - y doty = y - 4x
Podemos escrever isso em forma matricial, que é uma maneira mais organizada de lidar com sistemas lineares. Assim, temos:

[
dotx doty = 1 & -1 -4 & 1 x y

A = 1 & -1 -4 & 1

]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para encontrar as soluções desse sistema, precisamos determinar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de A - lambda I = 1 - lambda & -1 -4 & 1 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)^2 - (-1)(-4) = (1 - lambda)^2 - 4
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
(1 - lambda)^2 - 4 = 0
Expandindo:
1 - 2lambda + lambda^2 - 4 = 0 lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 :
lambda1 = 2 + 42 = 3 lambda2 = 2 - 42 = -1
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada A - 3I = 1 - 3 & -1 -4 & 1 - 3 = -2 & -1 -4 & -2 . Os autovetores nos dão direções nas quais o sistema se comporta de maneira simples.
Para -2v1 - v2 = 0 Rightarrow v2 = -2v1 :
Resolvemos v1 = 1 -2 :

[
A - 3I =
A + I = 1 + 1 & -1 -4 & 1 + 1 = 2 & -1 -4 & 2

2v1 - v2 = 0 Rightarrow v2 = 2v1
]
Isso nos dá a equação:
v2 = 1 2
Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :

[
A + I =


]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , temos . Assim, o autovetor é:

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução consiste em um termo exponencial multiplicado pelo autovetor correspondente. Assim, a solução geral é:

[
x(t) y(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2

c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{v}_2
]
Substituindo os valores encontrados:

[
x(t) y(t) = c1 e^3t 1 -2 + c2 e^-t 1 2

c_1 e^{3t}

+
c_2 e^{-t}

]
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral do sistema é

[
x(t) y(t) = c1 e^3t 1 -2 + c2 e^-t 1 2

c_1 e^{3t}

+
c_2 e^{-t}

]
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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