Resolver um sistema de equações diferenciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou! Esse tipo de problema faz parte do estudo das equações diferenciais lineares, onde queremos encontrar funções e que satisfazem as equações dadas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores, que nos ajudarão a encontrar as soluções das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a análise. As equações dadas são:
Podemos escrever isso em forma matricial, que é uma maneira mais organizada de lidar com sistemas lineares. Assim, temos:

[



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para encontrar as soluções desse sistema, precisamos determinar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Expandindo:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada . Os autovetores nos dão direções nas quais o sistema se comporta de maneira simples.
Para :
Resolvemos :

[
A - 3I =


]
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :

[
A + I =


]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , temos . Assim, o autovetor é:

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução consiste em um termo exponencial multiplicado pelo autovetor correspondente. Assim, a solução geral é:

[

c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{v}_2
]
Substituindo os valores encontrados:

[

c_1 e^{3t}

+
c_2 e^{-t}

]
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral do sistema é

[

c_1 e^{3t}

+
c_2 e^{-t}

]
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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(k)