Resolver um sistema de equações diferenciais
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que envolve duas funções,
e
, e queremos resolver para essas funções. O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver, precisamos conhecer métodos para sistemas lineares, como encontrar a solução geral homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema de equações de forma mais clara:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação ao tempo
.
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos primeiro resolver a parte homogênea, ou seja, ignorar o termo não homogêneo
. Assim, temos:
Passo 4
Escrevemos o sistema em forma matricial:
onde
e
.
Passo 5
Para encontrar as soluções homogêneas, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Calculamos o determinante
:
Resolvendo a equação quadrática, temos
e
.
Passo 6
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Escolhendo
, o autovetor é
.
Passo 7
A solução geral homogênea é uma combinação das soluções associadas a cada autovalor:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para o sistema não homogêneo. Como o termo não homogêneo é
, assumimos que a solução particular tem a forma:
Passo 9
Substituindo
no sistema original:
Simplificando, obtemos:
Passo 10
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Passo 12
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
As soluções são:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.