Resolver um sistema de equações diferenciais
{dot(x) = 3x + 2y + 4e^(5t), dot(y) = x + 2y}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que envolve duas funções, e , e queremos resolver para essas funções. O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver, precisamos conhecer métodos para sistemas lineares, como encontrar a solução geral homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações de forma mais clara:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação ao tempo .

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos primeiro resolver a parte homogênea, ou seja, ignorar o termo não homogêneo . Assim, temos:

Passo 4

Escrevemos o sistema em forma matricial:
onde e .

Passo 5

Para encontrar as soluções homogêneas, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Calculamos o determinante :
Resolvendo a equação quadrática, temos e .

Passo 6

Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Escolhendo , o autovetor é .

Passo 7

A solução geral homogênea é uma combinação das soluções associadas a cada autovalor:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo. Como o termo não homogêneo é , assumimos que a solução particular tem a forma:

Passo 9

Substituindo no sistema original:
Simplificando, obtemos:

Passo 10

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 11

Portanto, a solução particular é:

Passo 12

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

As soluções são:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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