Verifique a convergência das seguintes integrais:
h)

Passo 1

Vamos verificar se a integral converge. Estamos lidando com uma integral imprópria porque a função pode ter comportamento problemático no limite inferior de integração, . Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função perto de e ver se a integral tem um valor finito.

Passo 2

Primeiro, observamos que oscila entre -1 e 1 para valores de próximos a 0. Portanto, podemos dizer que:
Dividindo todos os lados por (que é positivo para ), temos:

Passo 3

Agora, para determinar a convergência da integral original, vamos comparar com a integral de . A integral é uma integral conhecida. Vamos calculá-la:
Como essa integral converge para 2, podemos usar o Critério da Comparação.

Passo 4

De acordo com o Critério da Comparação, se para todo no intervalo de integração e converge, então também converge.
No nosso caso, e . Já vimos que converge. Além disso, , então .

Passo 5

Portanto, pela comparação, a integral também converge.

Resposta

A integral converge.

Exercícios relacionados

Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Verifique a convergência das seguintes integrais:
n)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
s)