Verifique a convergência das seguintes integrais:
h)
h)
Passo 1
Vamos verificar se a integral
converge. Estamos lidando com uma integral imprópria porque a função pode ter comportamento problemático no limite inferior de integração,
. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função perto de
e ver se a integral tem um valor finito.
Passo 2
Primeiro, observamos que
oscila entre -1 e 1 para valores de
próximos a 0. Portanto, podemos dizer que:
Dividindo todos os lados por
(que é positivo para
), temos:
Passo 3
Agora, para determinar a convergência da integral original, vamos comparar com a integral de
. A integral
é uma integral conhecida. Vamos calculá-la:
Como essa integral converge para 2, podemos usar o Critério da Comparação.
Passo 4
De acordo com o Critério da Comparação, se
para todo
no intervalo de integração e
converge, então
também converge.
No nosso caso,
e
. Já vimos que
converge. Além disso,
, então
.
Passo 5
Portanto, pela comparação, a integral
também converge.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)
c)
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Verifique a convergência das seguintes integrais:
n)
n)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
s)
s)