Verifique a convergência das seguintes integrais:
h) integral0^1 cos (1 / x)raizx d x

Passo 1

Vamos verificar se a integral integral0^1 cos (1 / x)raizx , dx converge. Estamos lidando com uma integral imprópria porque a função pode ter comportamento problemático no limite inferior de integração, x = 0. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função perto de x = 0 e ver se a integral tem um valor finito.

Passo 2

Primeiro, observamos que cos(1/x) oscila entre -1 e 1 para valores de x próximos a 0. Portanto, podemos dizer que:
-1 <= cos(1x) <= 1
Dividindo todos os lados por raizx (que é positivo para x > 0), temos:
-1raizx <= cos(1x)raizx <= 1raizx

Passo 3

Agora, para determinar a convergência da integral original, vamos comparar com a integral de 1raizx. A integral integral0^1 1raizx , dx é uma integral conhecida. Vamos calculá-la:
integral0^1 1raizx , dx = [ 2raizx ]0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
Como essa integral converge para 2, podemos usar o Critério da Comparação.

Passo 4

De acordo com o Critério da Comparação, se |f(x)| <= g(x) para todo x no intervalo de integração e integral g(x) , dx converge, então integral f(x) , dx também converge.
No nosso caso, f(x) = cos(1/x)raizx e g(x) = 1raizx. Já vimos que integral0^1 g(x) , dx converge. Além disso, |cos(1/x)| <= 1, então |f(x)| <= g(x).

Passo 5

Portanto, pela comparação, a integral integral0^1 cos (1 / x)raizx , dx também converge.

Resposta

A integral integral0^1 cos (1 / x)raizx , dx converge.

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