Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que você enviou:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e na equação. Vamos chamar:
A ideia é verificar se a equação é exata, ou seja, se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que seja função de . A fórmula para o fator integrante quando a equação não é exata é:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função tal que:

Passo 6

Integrando em relação a :
Fazendo a substituição , , temos:
Portanto, a parte de da função é .

Passo 7

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Integrando :
Fazendo a substituição , , temos:
Então, .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Verifique a convergência das seguintes integrais:
x)
Use a regra da cadeia para achar e . .
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.