Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
b) sen(ln x) dx + 2xy cos(y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que você enviou:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e na equação. Vamos chamar:
A ideia é verificar se a equação é exata, ou seja, se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que seja função de x. A fórmula para o fator integrante mu(x) quando a equação não é exata é:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante 1/x:
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função F(x, y) tal que:

Passo 6

Integrando em relação a x:
Fazendo a substituição , , temos:
Portanto, a parte de x da função F é .

Passo 7

Agora, diferenciamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y):
Integrando :
Fazendo a substituição , , temos:
Então, .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados