Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que você enviou:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
na equação. Vamos chamar:
A ideia é verificar se a equação é exata, ou seja, se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que seja função de
. A fórmula para o fator integrante
quando a equação não é exata é:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função
tal que:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Portanto, a parte de
da função
é
.
Passo 7
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Então,
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Verifique a convergência das seguintes integrais:
x)
x)
Use a regra da cadeia para achar
e
.
.
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.