Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :
Como é positivo no domínio da solução, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso pode ser escrito como a derivada do produto:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Verifique a convergência das seguintes integrais:
x)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
s)
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Use a regra da cadeia para achar e . .