Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Como
é positivo no domínio da solução, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso pode ser escrito como a derivada do produto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
x)
x)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
s)
s)
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Use a regra da cadeia para achar
e
.
.