Verifique a convergência das seguintes integrais:
s)
s)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se a integral
converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, focando em analisar o comportamento da função dentro da integral, especialmente nos pontos que podem causar problemas, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo de integração
onde a função
pode ficar “complicada”, ou seja, onde o denominador pode se aproximar de zero, causando problemas na integral. Observamos que, quando
se aproxima de 0, tanto
quanto
se aproximam de 0, então precisamos ver como se comporta o termo
perto de
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
quando
está próximo de 0. Sabemos, pela série de Taylor da função seno, que:
Então,
Isso mostra que, para
muito pequeno,
se comporta aproximadamente como
.
Passo 4
Agora, precisamos comparar nossa função original
com uma função mais simples para entender o comportamento da integral. Como vimos que
perto de 0, podemos aproximar:
Então, a integral original se comporta de maneira similar à integral
perto de 0.
Passo 5
Vamos verificar a convergência da integral comparadora
. Sabemos que:
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a integral
diverge.
Resposta
A integral
diverge.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
n)
n)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
h)
h)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
x)
x)
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem: