Verifique a convergência das seguintes integrais:
s) integral0^1 1x-sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se a integral converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, focando em analisar o comportamento da função dentro da integral, especialmente nos pontos que podem causar problemas, como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo de integração onde a função pode ficar “complicada”, ou seja, onde o denominador pode se aproximar de zero, causando problemas na integral. Observamos que, quando se aproxima de 0, tanto quanto se aproximam de 0, então precisamos ver como se comporta o termo perto de .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de sen x = x - x^36 + dots quando x - sen x = x - ( x - x^36 + dots ) = x^36 + dots está próximo de 0. Sabemos, pela série de Taylor da função seno, que:
Então,
Isso mostra que, para muito pequeno, se comporta aproximadamente como .

Passo 4

Agora, precisamos comparar nossa função original 1x - sen x approx 6x^3 com uma função mais simples para entender o comportamento da integral. Como vimos que perto de 0, podemos aproximar:
Então, a integral original se comporta de maneira similar à integral perto de 0.

Passo 5

Vamos verificar a convergência da integral comparadora integral0^1 1x^p , dx . Sabemos que:
converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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