A soma de R $100,00 é posta a juros de ao ano sob a condição de que os juros se acumulem a cada instante (juro composto). Quantos anos serão necessários para que a soma (M) atinja R$ 200,00? Considere que

Passo 1

Então, a gente tem R$100,00 investidos a uma taxa de juros de 5% ao ano, e esses juros são compostos de forma contínua, ou seja, acumulam a cada instante. A pergunta é: quantos anos vão passar para que esse valor dobre e chegue a R$200,00? Para resolver isso, vamos usar a fórmula de juros compostos contínuos e seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dos juros compostos contínuos. Diferente dos juros compostos tradicionais, onde os juros são calculados em períodos fixos (como mensal ou anualmente), no juro composto contínuo os juros são calculados a todo instante. A fórmula para calcular o montante após o tempo é:
Aqui:
  • é o valor inicial (R$100,00)
  • é a taxa de juros (5% ou 0,05)
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828
  • é o tempo em anos

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Queremos que o montante seja R$200,00, então:
Agora, vamos isolar a parte exponencial:

Passo 4

Para resolver para , usamos o logaritmo natural dos dois lados da equação:
Calculando os valores:

Resposta

Serão necessários aproximadamente 13,86 anos para que R$100,00 se transformem em R$200,00 com juros compostos continuamente a uma taxa de 5% ao ano.

Exercícios relacionados

, determine
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.
Resolva as equações diferenciais de ordem superior: