Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais separáveis. Isso significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Isso deixa a derivada
isolada, facilitando a separação das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para fazer isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Assim, conseguimos separar as variáveis, deixando cada uma do seu lado.
Passo 4
Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a
:
Sabemos que a integral de
é
. Então,
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
Portanto, temos:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos desinverter a função
. Isso significa aplicar a função tangente dos dois lados:
Podemos simplificar isso para:
Onde
continua sendo a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Determine (se fizer sentido) sen
e
para os valores de
abaixo.
© .
©
Resolva as inequações abaixo.
(b) .
(b)
Determine
para os valores de
abaixo.
© .
©