Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais separáveis. Isso significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar :
Isso deixa a derivada isolada, facilitando a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para fazer isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Assim, conseguimos separar as variáveis, deixando cada uma do seu lado.

Passo 4

Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a :
Sabemos que a integral de é . Então,
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito:
Portanto, temos:

Passo 6

Para encontrar , precisamos desinverter a função . Isso significa aplicar a função tangente dos dois lados:
Podemos simplificar isso para:
Onde continua sendo a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Determine (se fizer sentido) sen e para os valores de abaixo.
© .
Resolva as inequações abaixo.
(b) .
Determine para os valores de abaixo.
© .