Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial separável para resolver:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais separáveis para resolver isso. Precisamos separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para separar e . Podemos reescrever a equação assim:
Isso nos ajuda a isolar os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 4

Para separar as variáveis, vamos trazer todos os termos com para o lado esquerdo e os termos com para o lado direito. Multiplicando ambos os lados por :
Agora está separado para integrar.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral do lado esquerdo. Usando integração por partes, onde e .
Calculando e .
Aplicando a fórmula:
Temos:
Integrando :

Passo 7

Agora, a integral do lado direito:
Expandindo:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Juntando os resultados das integrais e adicionando a constante de integração :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine (se fizer sentido) sen e para os valores de abaixo.
© .
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Resolva as inequações abaixo.
(b) .