Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial separável para resolver:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais separáveis para resolver isso. Precisamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para separar
e
. Podemos reescrever a equação assim:
Isso nos ajuda a isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 4
Para separar as variáveis, vamos trazer todos os termos com
para o lado esquerdo e os termos com
para o lado direito. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora está separado para integrar.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Primeiro, a integral do lado esquerdo. Usando integração por partes, onde
e
.
Calculando
e
.
Aplicando a fórmula:
Temos:
Integrando
:
Passo 7
Agora, a integral do lado direito:
Expandindo:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Juntando os resultados das integrais e adicionando a constante de integração
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine (se fizer sentido) sen
e
para os valores de
abaixo.
© .
©
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Resolva as inequações abaixo.
(b) .
(b)