Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial separável que precisa ser resolvida. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Basicamente, vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
de cada lado da equação. Isso significa que queremos deixar tudo com
de um lado e tudo com
do outro. A equação já está organizada dessa forma:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado para obter uma relação entre
e
.
Do lado esquerdo, temos:
E do lado direito:
Passo 4
Vamos calcular essas integrais uma por uma.
Integral do lado esquerdo:
A primeira integral é simples:
A segunda integral:
Então, o lado esquerdo integrado fica:
Integral do lado direito:
Calculando cada termo:
Portanto, o lado direito integrado é:
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto e adicionamos a constante de integração
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se necessário, podemos manipular a equação para isolar
, mas geralmente deixamos nessa forma implícita.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine
para os valores de
abaixo.
(b) .
(b)
Resolva as equações abaixo.
© .
©
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Determine
para os valores de
abaixo.
(a) .
(a)