Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial separável que precisa ser resolvida. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Basicamente, vamos separar os termos que envolvem dos que envolvem para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e de cada lado da equação. Isso significa que queremos deixar tudo com de um lado e tudo com do outro. A equação já está organizada dessa forma:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado para obter uma relação entre e .
Do lado esquerdo, temos:
E do lado direito:

Passo 4

Vamos calcular essas integrais uma por uma.
Integral do lado esquerdo:
A primeira integral é simples:
A segunda integral:
Então, o lado esquerdo integrado fica:
Integral do lado direito:
Calculando cada termo:
Portanto, o lado direito integrado é:

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto e adicionamos a constante de integração :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se necessário, podemos manipular a equação para isolar , mas geralmente deixamos nessa forma implícita.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine para os valores de abaixo.
(b) .
Resolva as equações abaixo.
© .
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Determine para os valores de abaixo.
(a) .