Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
b. y' = x^2 / (y(1 + x^3));

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. A equação que temos é . Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever como para facilitar a manipulação:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral de :
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Igualando as integrais dos dois lados:

Passo 8

Podemos simplificar juntando as constantes e em uma única constante :

Passo 9

Para achar , multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar para apenas :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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