Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
b.
;
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. A equação que temos é
. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
como
para facilitar a manipulação:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral de
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então
ou
.
Seja
Passo 6
Substituindo na integral:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Igualando as integrais dos dois lados:
Passo 8
Podemos simplificar juntando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 9
Para achar
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar
para apenas
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.