Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
b. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. A equação que temos é . Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever como para facilitar a manipulação:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral de :
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Igualando as integrais dos dois lados:

Passo 8

Podemos simplificar juntando as constantes e em uma única constante :

Passo 9

Para achar , multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar para apenas :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
c.
Três candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entrevistados que estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candidato votariam apenas em , e 100 votariam apenas no candidato C. Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110 disseram que não votariam em C, e 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em como em , mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato.
c) Quantos sócios participaram da pesquisa?
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
e.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
b.