Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
b.
;
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. A equação que temos é
. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
como
para facilitar a manipulação:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral de
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então
ou
.
Seja
Passo 6
Substituindo na integral:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Igualando as integrais dos dois lados:
Passo 8
Podemos simplificar juntando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 9
Para achar
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar
para apenas
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
c.
c.
Três candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entrevistados que estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candidato
votariam apenas em
, e 100 votariam apenas no candidato C. Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110 disseram que não votariam em C, e 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em
como em
, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato.
c) Quantos sócios participaram da pesquisa?
c) Quantos sócios participaram da pesquisa?
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
e.
e.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
b.
b.