Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, onde representa a derivada de em relação a . Para resolver, vamos precisar manipular a equação para encontrar uma expressão para em função de .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar , assim a equação fica:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a relação entre e .
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que e , temos:
Essa diferenciação nos ajuda a relacionar e .
Passo 4
Simplificando a equação obtida:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :
Isso significa que ou ou .
Passo 5
Primeiro, consideramos :
Se , então �� uma constante. Chamamos essa constante de , então . Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração. Substituindo na equação original:
Isso nos dá uma solução geral onde é uma constante.
Passo 6
Agora, consideramos a segunda possibilidade: . Resolvendo para :
Ora, . Integrando:
Substituindo na equação original:
Essa é outra solução particular da equação diferencial.