Resolva as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, onde representa a derivada de em relação a . Para resolver, vamos precisar manipular a equação para encontrar uma expressão para em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar , assim a equação fica:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a relação entre e .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que e , temos:
Essa diferenciação nos ajuda a relacionar e .

Passo 4

Simplificando a equação obtida:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :
Isso significa que ou ou .

Passo 5

Primeiro, consideramos :
Se , então �� uma constante. Chamamos essa constante de , então . Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração. Substituindo na equação original:
Isso nos dá uma solução geral onde é uma constante.

Passo 6

Agora, consideramos a segunda possibilidade: . Resolvendo para :
Ora, . Integrando:
Substituindo na equação original:
Essa é outra solução particular da equação diferencial.

Resposta

As soluções da equação diferencial são:
ou
Onde é uma constante arbitrária.

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