Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
c)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . A tarefa é verificar se esse campo é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
que satisfaz
. Em duas dimensões, isso significa que:
Para verificar se
é conservativo, podemos utilizar a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Ou seja, se
, então precisamos que:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas parciais:
Observamos que:
Portanto, a condição para que o campo seja conservativo é satisfeita.
Passo 5
Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função qualquer de
que surge da integração.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda equação:
Derivando nossa expressão para
em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando, vemos que:
Isso significa que
é uma constante. Podemos escolher
, onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Então, a função potencial
é:
Podemos ignorar a constante
ou considerá-la como zero para simplificar.
Resposta
Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial para ele é: