Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
c)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . A tarefa é verificar se esse campo é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função potencial tal que . Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial que satisfaz . Em duas dimensões, isso significa que:
Para verificar se é conservativo, podemos utilizar a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Ou seja, se , então precisamos que:

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Comparando as duas derivadas parciais:
Observamos que:
Portanto, a condição para que o campo seja conservativo é satisfeita.

Passo 5

Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função qualquer de que surge da integração.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação:
Derivando nossa expressão para em relação a :
Igualando a :
Simplificando, vemos que:
Isso significa que é uma constante. Podemos escolher , onde é uma constante arbitrária.

Passo 7

Então, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante ou considerá-la como zero para simplificar.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial para ele é:

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