Resolva as seguintes Equações Diferenciáveis Exatas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que é . Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Exatas, e vamos precisar encontrar uma função potencial que satisfaça as condições da exatidão para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e que estão multiplicando e , respectivamente. Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e vemos se são iguais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece pela constante de integração.

Passo 5

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Integrando :
Podemos desprezar a constante pois será incorporada na constante geral da solução.

Passo 6

Agora, temos a função potencial completa:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
onde é uma constante.

Resposta

A solução da equação é , onde é uma constante.

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