Resolva as seguintes Equações Diferenciáveis Exatas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que é
. Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Exatas, e vamos precisar encontrar uma função potencial
que satisfaça as condições da exatidão para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que estão multiplicando
e
, respectivamente. Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e vemos se são iguais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece pela constante de integração.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando
:
Podemos desprezar a constante
pois será incorporada na constante geral da solução.
Passo 6
Agora, temos a função potencial completa:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
onde
é uma constante.
Resposta
A solução da equação é
, onde
é uma constante.
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