Resolver as seguintes Equações Diferenciais não exatas por fator:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Essa é uma Equação Diferencial Não Exata, o que significa que não está prontinha pra gente integrar direto. A gente vai precisar usar um fator integrante para torná-la exata e, assim, conseguir resolver. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e da equação:
Para verificar se a equação é exata, a gente compara as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos achar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa só de ou só de . Vamos supor que depende só de , então chamamos esse fator de .
A condição para é:
Substituindo os valores que já temos:
Isso nos dá a equação diferencial para :
Essa é uma equação linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para :
Como é apenas uma constante, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora que temos o fator integrante , vamos multiplicar toda a equação original por esse fator:
Simplificando:
Agora, a equação deve ser exata. Vamos verificar as derivadas parciais novamente:
Como , a equação é agora exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 5

Vamos encontrar integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou, reescrevendo,
onde é uma constante arbitrária.

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