Resolver as seguintes Equações Diferenciais não exatas por fator:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Essa é uma Equação Diferencial Não Exata, o que significa que não está prontinha pra gente integrar direto. A gente vai precisar usar um fator integrante para torná-la exata e, assim, conseguir resolver. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
da equação:
Para verificar se a equação é exata, a gente compara as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos achar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa só de
ou só de
. Vamos supor que depende só de
, então chamamos esse fator de
.
A condição para
é:
Substituindo os valores que já temos:
Isso nos dá a equação diferencial para
:
Essa é uma equação linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para
:
Como
é apenas uma constante, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora que temos o fator integrante
, vamos multiplicar toda a equação original por esse fator:
Simplificando:
Agora, a equação deve ser exata. Vamos verificar as derivadas parciais novamente:
Como
, a equação é agora exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
ou, reescrevendo,
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes Equações Diferenciáveis Exatas:
Resolver as EDO
Resolver as seguintes EDO
Resolver as seguintes EDO