Resolva as seguintes Equações Diferenciáveis Exatas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial exata, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente das Equações Diferenciais de primeira ordem exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que satisfaz a equação.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação dada:
Uma equação diferencial da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais são iguais:
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos chamá-la de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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