Resolva as seguintes Equações Diferenciáveis Exatas:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial exata, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente das Equações Diferenciais de primeira ordem exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação dada:
Uma equação diferencial da forma é exata se existir uma função tal que:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais são iguais:
Calculando:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial . Integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamá-la de .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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