Resolver as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem e não linear, por causa do termo . Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e torne possível encontrar uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Substituindo e na equação original:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para simplificar:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:
onde . Calculando:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Lembrando que , então:

Resposta

Finalmente, elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar :
Onde é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

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