Resolver as seguintes Equações Diferenciais não exatas por fator:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não exata usando um fator integrante. O que isso significa? Bem, estamos lidando com uma equação que não está “pronta” para integrar diretamente, mas com um truque, podemos torná-la exata e resolver. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e fator integrante para transformar essa equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um fator integrante, que geralmente depende de
ou
, para multiplicar a equação e torná-la exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
Agora, queremos que a nova equação seja exata, então:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Passo 7
Igualando as duas expressões:
Simplificando e dividindo por
(assumindo
):
Passo 8
Para que a igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes de
e
devem ser iguais:
Para :
Para
Para
:
Da equação de
:
Passo 9
Essa é uma equação diferencial simples para
. Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 10
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 11
Encontramos uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
No entanto, como
só depende de
, o termo com
deve ser zero, indicando que houve um erro na integração. Portanto, ajustamos nossa função
:
Observando que a parte que depende de
é
, integramos essa parte:
Passo 12
Então, a solução implícita é:
Podemos escrever de forma simplificada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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