Resolver as seguintes Equações Diferenciais não exatas por fator:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não exata usando um fator integrante. O que isso significa? Bem, estamos lidando com uma equação que não está “pronta” para integrar diretamente, mas com um truque, podemos torná-la exata e resolver. Vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e fator integrante para transformar essa equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um fator integrante, que geralmente depende de ou , para multiplicar a equação e torná-la exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de , ou seja, .

Passo 5

Multiplicamos a equação original por :
Agora, queremos que a nova equação seja exata, então:

Passo 6

Calculando as derivadas:

Passo 7

Igualando as duas expressões:
Simplificando e dividindo por (assumindo ):

Passo 8

Para que a igualdade seja válida para todos os , os coeficientes de e devem ser iguais:
Para :
Para :
Da equação de :

Passo 9

Essa é uma equação diferencial simples para . Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 10

Agora, multiplicamos a equação original por :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 11

Encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
No entanto, como só depende de , o termo com deve ser zero, indicando que houve um erro na integração. Portanto, ajustamos nossa função :
Observando que a parte que depende de é , integramos essa parte:

Passo 12

Então, a solução implícita é:
Podemos escrever de forma simplificada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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