Resolver as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre esse tipo de equação e aplicar uma substituição que simplifique o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão da EDO de Bernoulli. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, a equação está no formato:
onde
,
e
.
Passo 3
A EDO de Bernoulli pode ser resolvida usando uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos fazer a substituição:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na equação para
. A equação original reescrita é:
Substituindo na derivada de
:
Simplificando:
Mas como
, temos
, então:
Passo 5
Agora, a equação está em termos de
e é linear:
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Para resolver para
, tiramos o inverso e a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
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