Resolver as seguintes EDO x dy/dx + y = x^3 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre esse tipo de equação e aplicar uma substituição que simplifique o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão da EDO de Bernoulli. Dividindo ambos os lados por x, temos:
Agora, a equação está no formato:
onde , e .

Passo 3

A EDO de Bernoulli pode ser resolvida usando uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos fazer a substituição:
Agora, vamos derivar v em relação a x:

Passo 4

Vamos substituir da equação original na equação para . A equação original reescrita é:
Substituindo na derivada de v:
Simplificando:
Mas como , temos , então:

Passo 5

Agora, a equação está em termos de v e é linear:
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante mu(x), que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração. Então:

Passo 8

Lembrando que , temos:
Para resolver para y, tiramos o inverso e a raiz quadrada:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde C é uma constante arbitrária.

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