Resolver as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias do primeiro grau. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar
e tentar separar as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar
isolado. Temos:
Vamos adicionar
aos dois lados:
Agora, fatoramos o
do lado esquerdo:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos uma equação que pode ser escrita como:
Passo 4
Vamos tentar separar as variáveis. Colocamos todos os termos com
de um lado e os com
do outro:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para facilitar:
Já vimos essa etapa antes, então parece que precisamos de outra abordagem.
Passo 5
Vamos tentar usar uma substituição. Observe que a equação pode ser escrita como:
Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, vamos rearranjar:
Passo 6
Vamos perceber que o lado esquerdo pode ser a derivada de
:
Comparando com nossa equação:
Simplificando:
Passo 7
Vamos dividir ambos os lados por
:
Esta equação ainda está complicada, então vamos tentar outra substituição.
Passo 8
Vamos definir
. Então,
. Vamos substituir na equação original:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por
:
Passo 9
Agora, temos uma equação linear para
:
Vamos encontrar um fator integrante. O fator é:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
:
Lembrando que
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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