Resolver as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias do primeiro grau. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar e tentar separar as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar isolado. Temos:
Vamos adicionar aos dois lados:
Agora, fatoramos o do lado esquerdo:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos uma equação que pode ser escrita como:

Passo 4

Vamos tentar separar as variáveis. Colocamos todos os termos com de um lado e os com do outro:
Podemos multiplicar ambos os lados por para facilitar:
Já vimos essa etapa antes, então parece que precisamos de outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar usar uma substituição. Observe que a equação pode ser escrita como:
Vamos multiplicar ambos os lados por :
Agora, vamos rearranjar:

Passo 6

Vamos perceber que o lado esquerdo pode ser a derivada de :
Comparando com nossa equação:
Simplificando:

Passo 7

Vamos dividir ambos os lados por :
Esta equação ainda está complicada, então vamos tentar outra substituição.

Passo 8

Vamos definir . Então, . Vamos substituir na equação original:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo por :

Passo 9

Agora, temos uma equação linear para :
Vamos encontrar um fator integrante. O fator é:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por :
Lembrando que :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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