Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea de primeira ordem:
Isso significa que a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne a equação mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar usar substituição de variáveis e integração.
Passo 2
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Assim, podemos reescrever
em termos de
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Agora, podemos simplificar essa equação:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Essa é uma equação diferencial separável, onde conseguimos separar as vari��veis
e
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Sabemos que:
e
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo: