Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea de primeira ordem:
Isso significa que a equação pode ser simplificada usando uma substituição que torne a equação mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar usar substituição de variáveis e integração.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Assim, podemos reescrever em termos de :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Agora, podemos simplificar essa equação:

Passo 4

Vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Essa é uma equação diferencial separável, onde conseguimos separar as vari��veis e .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
Sabemos que:
e
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:

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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo: