Resolva as seguintes equações:
ln x-ln (x-1)=ln 2+ln (3-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve logaritmos naturais. O enunciado é:
ln x - ln (x - 1) = ln 2 + ln (3 - x)
Aqui, estamos lidando com propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar recordar como somar e subtrair logaritmos, além de conhecer as regras para resolver equações logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os logaritmos usando as propriedades de diferença e soma. Lembra que:
ln a - ln b = ln ( ab )
ln a + ln b = ln (a cdot b)
Aplicando isso à nossa equação:
ln ( xx - 1 ) = ln (2 cdot (3 - x))

Passo 3

Agora que temos os logaritmos de cada lado iguais, podemos igualar os argumentos dentro dos logaritmos, pois o logaritmo é uma função crescente. Ou seja:
xx - 1 = 2(3 - x)

Passo 4

Vamos resolver essa equação fracionária. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por x = 2(3 - x)(x - 1) para eliminar o denominador:
x = 2(3x - x^2 - 3 + x)
Agora, vamos distribuir o 2:
x = 2(-x^2 + 4x - 3)
x = -2x^2 + 8x - 6

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática igual a zero:
-2x^2 + 8x - 6 - x = 0
-2x^2 + 7x - 6 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
2x^2 - 7x + 6 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde x = 7 pm raiz14, x = 7 pm 14, e . Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto da equação original, onde os argumentos dos logaritmos devem ser positivos:
  1. Para :
    Tudo está ok.
  2. Para :
    Também está ok.

Resposta

As soluções da equação são:
x = 2 e x = 1,5

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