Resolva as seguintes equações nao homogenias

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Essa é uma equação que estudamos em Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo, temos:
Então, as soluções são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea . Vamos dividir em duas partes devido aos termos diferentes no lado direito.

Parte 1:

Como já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Assim, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para esta parte é:

Parte 2:

Para o termo polinomial, tentamos uma solução particular do tipo polinomial:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para esta parte é:

Passo 4

Agora, juntamos as soluções particulares das duas partes:

Passo 5

Finalmente, somamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
c)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
c)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
d)