Resolva as seguintes equações nao homogenias
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea
. Essa é uma equação que estudamos em Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo, temos:
Então, as soluções são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea
. Vamos dividir em duas partes devido aos termos diferentes no lado direito.
Parte 1:
Como
já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Assim, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para esta parte é:
Parte 2:
Para o termo polinomial, tentamos uma solução particular do tipo polinomial:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para esta parte é:
Passo 4
Agora, juntamos as soluções particulares das duas partes:
Passo 5
Finalmente, somamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
c)
c)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
c)
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Resolva as seguintes equações nao homogenias
d)
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