Resolva as seguintes equações nao homogenias
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea
. Aqui, a matéria que estamos usando é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1, ficando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, as raízes são
e
. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que
também seja um polinômio do mesmo grau:
Calculando as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original:
Expandindo e agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo:
- Para
: → - Para
: → Substituindo :
- Para o termo constante:
→ Substituindo e :
Então, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, juntamos a solução geral da parte homogênea com a solução particular para obter a solução geral completa da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva as seguintes equações nao homogenias
d)
d)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
e) .
e)