Resolva as seguintes equações nao homogenias
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Aqui, a matéria que estamos usando é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1, ficando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, as raízes são e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinaremos com condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que também seja um polinômio do mesmo grau:
Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Expandindo e agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo:
  1. Para :
  2. Para : → Substituindo :
  1. Para o termo constante: → Substituindo e :
Então, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, juntamos a solução geral da parte homogênea com a solução particular para obter a solução geral completa da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
Resolva as seguintes equações nao homogenias
d)
Resolva as seguintes equações nao homogenias
e) .