Resolver um sistema de equações diferenciais
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. O que a gente tem aqui são duas equações que relacionam as derivadas de
e
com o tempo
. Vamos precisar usar algumas técnicas de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira equação do sistema:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo
. Vamos isolar
para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na segunda equação do sistema:
Substituindo
por
, temos:
Mas também sabemos que
é a derivada de
, ou seja:
Portanto, igualando as duas expressões para
:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com termos não homogêneos.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A gente forma a equação característica:
Resolvendo essa equação:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, expressamos
em termos de
:
Substituímos na segunda equação:
Então,
Passo 9
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Portanto, a solução geral da equação para
é:
Passo 10
Agora, vamos encontrar
usando a relação que encontramos no Passo 2:
Calculando a derivada de
:
Então,
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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c) .
c)
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b)
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