Resolver um sistema de equações diferenciais
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. O que a gente tem aqui são duas equações que relacionam as derivadas de e com o tempo . Vamos precisar usar algumas técnicas de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira equação do sistema:
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo . Vamos isolar para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos substituir na segunda equação do sistema:
Substituindo por , temos:
Mas também sabemos que é a derivada de , ou seja:
Portanto, igualando as duas expressões para :

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com termos não homogêneos.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A gente forma a equação característica:
Resolvendo essa equação:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, expressamos em termos de :
Substituímos na segunda equação:
Então,

Passo 9

Com os valores de e encontrados, a solução particular é:
Portanto, a solução geral da equação para é:

Passo 10

Agora, vamos encontrar usando a relação que encontramos no Passo 2:
Calculando a derivada de :
Então,

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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