Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a forma da solução particular dessa equação, ou seja, como ela vai parecer sem precisar calcular os coeficientes desconhecidos. Para isso, vamos precisar usar a técnica dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no lado direito da equação:
. Isso é uma função que combina um polinômio de primeiro grau (
) com uma exponencial (
) e uma função trigonométrica (
). Esse tipo de função é composto e a forma da solução particular vai depender desse composto todo.
Passo 3
A técnica dos coeficientes indeterminados nos diz que, para termos do tipo
ou
, onde
é um polinômio, a solução particular
vai ter uma forma similar. No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a solução complementar da equação homogênea associada (
) já contém termos semelhantes aos do lado direito. Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes
e
. Como
é uma das raízes, isso significa que
já está na solução complementar, então precisamos multiplicar nossa suposição inicial por
para evitar a duplicação.
Passo 5
Com isso, propomos que a forma da solução particular seja:
Aqui,
,
,
e
são os coeficientes que seriam determinados se fôssemos resolver completamente a equação.
Resposta
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Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
a) .
a)
Resolva as seguintes equações de ordem alta: d)
.
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
Resolva as seguintes equações nao homogenias