Resolva as seguintes equações trigonométricas:
® \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=1+\operatorname{sen} 2 x
® \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=1+\operatorname{sen} 2 x
Passo 1
Então, temos a equação trigonométrica
. Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria, como identidades trigonométricas para tangente de soma e para seno duplo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
No nosso caso,
e
. Sabemos que
, então a fórmula fica:
Passo 3
Substituindo essa expressão na equação original, temos:
Agora, vamos trabalhar com o lado direito da equação. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, nossa equação fica:
Vamos expressar
em termos de seno e cosseno:
. Substituindo na equação:
Simplificando o denominador e o numerador:
As
se cancelam:
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar a fração:
Agora, distribuindo o lado direito:
Passo 6
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 7
Sabemos que
, então substituindo:
Fatorando
:
Ou seja:
Passo 8
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Vamos resolver cada caso:
Caso 1:
Caso 2:
Dividindo ambos os lados por
:
Então:
Resposta
As soluções da equação são:
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(j)
(j)
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(b)
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©
©
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(j)
(j)