Resolva as seguintes inequações trigonométricas:
© tg x > 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação trigonométrica . Esse exercício está dentro da matéria de trigonometria, onde trabalhamos com funções trigonométricas como o seno, cosseno e tangente. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como a função tangente se comporta no ciclo trigonométrico e identificar os intervalos onde ela é maior que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente, tg x, é definida como o quociente entre o seno e o cosseno:
Essa função possui um período de pi radianos, o que significa que seu comportamento se repete a cada pi radianos.

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de x onde . Vamos começar determinando onde , pois isso nos ajudará a delimitar os intervalos onde a função é maior que 1.
A equação é satisfeita quando:
Isso ocorre quando , onde k é qualquer inteiro, já que a tangente tem período de pi.

Passo 4

Agora que sabemos onde , vamos analisar em quais intervalos a tangente é maior que 1. Sabemos que a função tangente é crescente em seu domínio, ou seja, entre as assíntotas verticais onde .
Considerando o ciclo trigonométrico entre e pi / 2, temos:
  • Quando x está entre 0 e pi/4, tg x aumenta de 0 a 1.
  • Quando x está entre pi/4 e pi / 2, tg x sobe de 1 ao infinito.
Portanto, ocorre quando x está entre pi/4 e pi / 2 dentro de cada período.

Passo 5

Como a tangente tem período de pi, vamos generalizar a solução para todos os ciclos. Assim, a inequação é satisfeita para:
onde k é qualquer inteiro.

Resposta

A solução da inequação é:

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