Resolva as seguintes inequações trigonométricas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação trigonométrica
. Esse exercício está dentro da matéria de trigonometria, onde trabalhamos com funções trigonométricas como o seno, cosseno e tangente. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como a função tangente se comporta no ciclo trigonométrico e identificar os intervalos onde ela é maior que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função tangente,
, é definida como o quociente entre o seno e o cosseno:
Essa função possui um período de
radianos, o que significa que seu comportamento se repete a cada
radianos.
Passo 3
Agora, queremos encontrar os valores de
onde
. Vamos começar determinando onde
, pois isso nos ajudará a delimitar os intervalos onde a função é maior que 1.
A equação
é satisfeita quando:
Isso ocorre quando
, onde
é qualquer inteiro, já que a tangente tem período de
.
Passo 4
Agora que sabemos onde
, vamos analisar em quais intervalos a tangente é maior que 1. Sabemos que a função tangente é crescente em seu domínio, ou seja, entre as assíntotas verticais onde
.
Considerando o ciclo trigonométrico entre
e
, temos:
- Quando
está entre e , aumenta de 0 a 1. - Quando
está entre e , sobe de 1 ao infinito.
Portanto,
ocorre quando
está entre
e
dentro de cada período.
Passo 5
Como a tangente tem período de
, vamos generalizar a solução para todos os ciclos. Assim, a inequação
é satisfeita para:
onde
é qualquer inteiro.
Resposta
A solução da inequação
é:
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Resolva as seguintes equações trigonométricas:
® \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=1+\operatorname{sen} 2 x
® \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=1+\operatorname{sen} 2 x
Resolva as seguintes equações trigonométricas:
(j)
(j)
Resolva as seguintes inequações trigonométricas:
(j)
(j)
Simplifique ao máximo as expressões:
(e)
(e)