Resolva as seguintes inequações trigonométricas:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação trigonométrica . Esse exercício está dentro da matéria de trigonometria, onde trabalhamos com funções trigonométricas como o seno, cosseno e tangente. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como a função tangente se comporta no ciclo trigonométrico e identificar os intervalos onde ela é maior que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente, , é definida como o quociente entre o seno e o cosseno:
Essa função possui um período de radianos, o que significa que seu comportamento se repete a cada radianos.

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de onde . Vamos começar determinando onde , pois isso nos ajudará a delimitar os intervalos onde a função é maior que 1.
A equação é satisfeita quando:
Isso ocorre quando , onde é qualquer inteiro, já que a tangente tem período de .

Passo 4

Agora que sabemos onde , vamos analisar em quais intervalos a tangente é maior que 1. Sabemos que a função tangente é crescente em seu domínio, ou seja, entre as assíntotas verticais onde .
Considerando o ciclo trigonométrico entre e , temos:
  • Quando está entre e , aumenta de 0 a 1.
  • Quando está entre e , sobe de 1 ao infinito.
Portanto, ocorre quando está entre e dentro de cada período.

Passo 5

Como a tangente tem período de , vamos generalizar a solução para todos os ciclos. Assim, a inequação é satisfeita para:
onde é qualquer inteiro.

Resposta

A solução da inequação é:

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® \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=1+\operatorname{sen} 2 x
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(j)
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(j)
Simplifique ao máximo as expressões:
(e)