Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a inequação
. Aqui estamos lidando com funções quadráticas e inequações. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, encontrar os pontos onde a fração muda de sinal e analisar em quais intervalos a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então temos:
Passo 4
Substituindo as fatorações na inequação original, ficamos com:
Agora precisamos identificar os valores de
que tornam essa expressão maior ou igual a zero.
Passo 5
Vamos encontrar os valores que anulam o numerador e o denominador, pois são pontos críticos onde o sinal da fração pode mudar:
- Numerador
: e - Denominador
: e
Passo 6
Esses pontos (
,
,
e
) dividem a reta numérica em cinco intervalos. Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo:
Passo 7
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e verificar o sinal da fração:
- Intervalo
: Vamos testar - Intervalo
: Vamos testar - Intervalo
: Vamos testar - Intervalo
: Vamos testar - Intervalo
: Vamos testar
Passo 8
Agora, vamos resumir os sinais:
- Positivo em
, e - Negativo em
e - Nos pontos onde o numerador é zero (
e ), a expressão é igual a zero, o que satisfaz a inequação . - Nos pontos onde o denominador é zero (
e ), a expressão não está definida, então excluímos esses valores.
Resposta
A solução da inequação é
.
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Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
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Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
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