Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a inequação . Aqui estamos lidando com funções quadráticas e inequações. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, encontrar os pontos onde a fração muda de sinal e analisar em quais intervalos a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então temos:

Passo 4

Substituindo as fatorações na inequação original, ficamos com:
Agora precisamos identificar os valores de que tornam essa expressão maior ou igual a zero.

Passo 5

Vamos encontrar os valores que anulam o numerador e o denominador, pois são pontos críticos onde o sinal da fração pode mudar:
  • Numerador : e
  • Denominador : e

Passo 6

Esses pontos ( , , e ) dividem a reta numérica em cinco intervalos. Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo:

Passo 7

Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e verificar o sinal da fração:
  1. Intervalo : Vamos testar
  2. Intervalo : Vamos testar
  3. Intervalo : Vamos testar
  4. Intervalo : Vamos testar
  5. Intervalo : Vamos testar

Passo 8

Agora, vamos resumir os sinais:
  • Positivo em , e
  • Negativo em e
  • Nos pontos onde o numerador é zero ( e ), a expressão é igual a zero, o que satisfaz a inequação .
  • Nos pontos onde o denominador é zero ( e ), a expressão não está definida, então excluímos esses valores.

Resposta

A solução da inequação é .

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Resolva as seguintes inequações na variável , e represente o conjunto solução nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
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