Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
(2 x - 8) * (x^2 - 8 x + 12) / (x^2 - 11 x + 24) <= 0

Passo 1

Então, temos uma inequação que envolve funções quadráticas:
Vamos resolver essa inequação usando conhecimentos de álgebra sobre funções quadráticas e inequações. Para isso, vamos identificar as raízes do numerador e do denominador, determinar os intervalos onde a expressão é positiva ou negativa, e finalmente encontrar os valores de que satisfazem a inequação.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para encontrar suas raízes.
No numerador:
E:
Para fatorar , procuramos dois números que multiplicados dão 12 e somados dão -8. Esses números são -2 e -6. Então:
No denominador:
Buscamos dois números que multiplicados dão 24 e somados dão -11. São -3 e -8:

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na inequação original:
As raízes da expressão são os valores que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero:
  • Numerador:
  • Denominador:
Notamos que e tornam o denominador zero, o que torna a expressão indefinida nesses pontos. Portanto, esses valores não fazem parte da solução.

Passo 4

Agora, vamos identificar os intervalos determinados pelas raízes:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da expressão.

Passo 5

Escolhemos pontos de teste:
  1. em
  2. em
  3. em
  4. em
  5. em
  6. em
Vamos calcular o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 6

  1. :
    Denominador:
  2. :
    Denominador:
  3. :
    Denominador:
  4. :
    Denominador:
  5. :
    Denominador:
  6. :
    Denominador:

Passo 7

Agora, vamos resumir os sinais nos intervalos:
  1. : Negativo
  2. : Positivo
  3. : Negativo
  4. : Positivo
  5. : Negativo
  6. : Positivo
Como a inequação é , procuramos os intervalos onde a expressão é negativa ou igual a zero. Além disso, incluímos os pontos onde o numerador é zero, pois a expressão será igual a zero nesses pontos, desde que não tornem o denominador zero.

Resposta

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