Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
Passo 1
Então, temos uma inequação que envolve funções quadráticas:
Vamos resolver essa inequação usando conhecimentos de álgebra sobre funções quadráticas e inequações. Para isso, vamos identificar as raízes do numerador e do denominador, determinar os intervalos onde a expressão é positiva ou negativa, e finalmente encontrar os valores de
que satisfazem a inequação.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para encontrar suas raízes.
No numerador:
E:
Para fatorar
, procuramos dois números que multiplicados dão 12 e somados dão -8. Esses números são -2 e -6. Então:
No denominador:
Buscamos dois números que multiplicados dão 24 e somados dão -11. São -3 e -8:
Passo 3
Agora, substituímos as fatorações na inequação original:
As raízes da expressão são os valores que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero:
- Numerador:
- Denominador:
Notamos que
e
tornam o denominador zero, o que torna a expressão indefinida nesses pontos. Portanto, esses valores não fazem parte da solução.
Passo 4
Agora, vamos identificar os intervalos determinados pelas raízes:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da expressão.
Passo 5
Escolhemos pontos de teste:
-
em -
em -
em -
em -
em -
em
Vamos calcular o sinal da expressão em cada intervalo.
Passo 6
-
: Denominador: -
: Denominador: -
: Denominador: -
: Denominador: -
: Denominador: -
: Denominador:
Passo 7
Agora, vamos resumir os sinais nos intervalos:
-
: Negativo -
: Positivo -
: Negativo -
: Positivo -
: Negativo -
: Positivo
Como a inequação é
, procuramos os intervalos onde a expressão é negativa ou igual a zero. Além disso, incluímos os pontos onde o numerador é zero, pois a expressão será igual a zero nesses pontos, desde que não tornem o denominador zero.