Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação que envolve funções quadráticas: . O conteúdo aqui está relacionado a inequações do segundo grau e à análise do sinal das funções. Para resolver, vamos precisar identificar os valores que tornam cada parte da inequação igual a zero e depois analisar os intervalos formados por esses valores para determinar onde o produto é maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes de cada função quadrática dentro da inequação, ou seja, os valores de que fazem com que cada fator seja igual a zero.
Para a primeira função:
Podemos resolver essa equação pelo método de fatoração. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:
Portanto, as raízes são e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda função:
Primeiro, multiplamos a equação inteira por para facilitar:
Novamente, usamos a fatoração. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:
Assim, as raízes são e .

Passo 4

Agora que temos todas as raízes, vamos identificar os pontos críticos que dividem a reta real em intervalos:
Esses pontos dividem a reta em cinco intervalos:

Passo 5

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo para determinar onde o produto é maior ou igual a zero.
  1. Intervalo :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • Produto: negativo × negativo × negativo × negativo = positivo
  2. Intervalo :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: negativo × negativo × negativo × positivo = negativo
  3. Intervalo :
    • é positivo
    • é negativo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: positivo × negativo × negativo × positivo = positivo
  4. Intervalo :
    • é positivo
    • é negativo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: positivo × negativo × positivo × positivo = negativo
  5. Intervalo :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: positivo × positivo × positivo × positivo = positivo

Resposta

A solução da inequação é:

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Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
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Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
Resolva as seguintes inequações na variável , e represente o conjunto solução nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
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