Resolva as seguintes inequações
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma razão de polinômios, que é um assunto da Álgebra. Para resolver isso, a gente precisa fatorar o numerador e o denominador, encontrar os pontos críticos e analisar os intervalos onde a expressão é negativa ou zero.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador . Procuramos dois números que multiplicados dão (produto de ) e que somados dão . Esses números são e .
Então:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador . Reescrevendo:
Então, o denominador fatorado é .

Passo 4

Substituindo as fatorações na inequação:
Podemos multiplicar o numerador e o denominador por para simplificar, lembrando que isso inverte o sinal da inequação:

Passo 5

Agora, identificamos os pontos críticos, que são os valores de que tornam o numerador ou o denominador zero:
Esses pontos dividem a reta real em intervalos que vamos analisar.

Passo 6

Vamos criar uma tabela de sinais para os intervalos determinados pelos pontos críticos: a , a , a , a , e a .
Para cada intervalo, escolhemos um valor de e verificamos o sinal de cada fator:
  1. Intervalo :
    • negativo
    • negativo
    • negativo
    • negativo
    • Sinal final:
  2. Intervalo :
    • negativo
    • positivo
    • negativo
    • negativo
    • Sinal final:
  3. Intervalo :
    • negativo
    • positivo
    • positivo
    • negativo
    • Sinal final:
  4. Intervalo :
    • positivo
    • positivo
    • positivo
    • negativo
    • Sinal final:
  5. Intervalo :
    • positivo
    • positivo
    • positivo
    • positivo
    • Sinal final:

Passo 7

Agora, queremos os intervalos onde a expressão é menor ou igual a zero, ou seja, onde o sinal é negativo ou igual a zero. Observando a tabela:
  • Intervalo : sinal negativo
  • Intervalo : sinal negativo
Também consideramos os pontos onde o numerador é zero ( e ), pois a expressão será igual a zero nesses pontos.
Importante: Não incluímos e porque nesses pontos o denominador fica zero, deixando a expressão indefinida.

Resposta

A solução da inequação é:

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Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 24 , para todo natural ímpar.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
© Passa pelo ponto e é perpendicular à reta cuja equação é .
Calcule e para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
©