Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 24 , para todo natural ímpar.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar, usando indução matemática, que a expressão é divisível por 24 para todo número natural ímpar . A indução matemática é uma técnica que nos ajuda a provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um ponto inicial.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor número natural ímpar, que é .
Calculando:
Como 0 é divisível por 24 (pois ), a base da indução está correta.

Passo 3

Hipótese de Indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número ímpar . Ou seja, assumimos que:
éí
Isso significa que existe um número inteiro tal que:

Passo 4

Passo da Indução: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para o próximo número ímpar, que é .
Vamos calcular :
Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Pela hipótese de indução, sabemos que , então substituindo:
Agora, vamos fatorar o 6:
Como é ímpar, é par. Portanto, é múltiplo de 4 (já que qualquer número par ao quadrado resulta em múltiplo de 4). Assim:
é
Então, temos:
Isso mostra que também é divisível por 24.

Resposta

Portanto, por indução matemática, demonstramos que é divisível por 24 para todo número natural ímpar .

Exercícios relacionados

Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: , para .
Resolva as seguintes inequações
(h)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
© Passa pelo ponto e é perpendicular à reta cuja equação é .