Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 24 , para todo
natural ímpar.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar, usando indução matemática, que a expressão
é divisível por 24 para todo número natural ímpar
. A indução matemática é uma técnica que nos ajuda a provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um ponto inicial.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor número natural ímpar, que é
.
Calculando:
Como 0 é divisível por 24 (pois
), a base da indução está correta.
Passo 3
Hipótese de Indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número ímpar
. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Passo da Indução: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para o próximo número ímpar, que é
.
Vamos calcular
:
Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Pela hipótese de indução, sabemos que
, então substituindo:
Agora, vamos fatorar o 6:
Como
é ímpar,
é par. Portanto,
é múltiplo de 4 (já que qualquer número par ao quadrado resulta em múltiplo de 4). Assim:
Então, temos:
Isso mostra que
também é divisível por 24.
Resposta
Portanto, por indução matemática, demonstramos que
é divisível por 24 para todo número natural ímpar
.
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
, para
.
Resolva as seguintes inequações
(h)
(h)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
© Passa pelo ponto e é perpendicular à reta cuja equação é
.
© Passa pelo ponto