Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar, usando indução, que
para todo
. Então, o conteúdo aqui é indução matemática, que é uma técnica pra provar que uma afirmação vale pra todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar verificar a base da indução e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a afirmação é verdadeira pro menor valor de
, que é 6. Calculando:
Então,
. Viu? A base da indução tá ok.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira pro algum número
. Ou seja, estamos supondo que:
Esse é o nosso passo indutivo. Com essa suposição, queremos provar que a afirmação também vale pra
.
Passo 4
Vamos verificar se
:
Precisamos mostrar que:
Subtraindo
de ambos os lados:
Vamos resolver a inequação
. Calculando o discriminante:
As raízes são:
Como
, as raízes são aproximadamente
e
. Para
, a expressão
é positiva, então nossa desigualdade vale.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a afirmação
é verdadeira para todo
.
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Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
, para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 24 , para todo
natural ímpar.
Resolva as seguintes inequações
(h)
(h)