Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar, usando indução, que para todo . Então, o conteúdo aqui é indução matemática, que é uma técnica pra provar que uma afirmação vale pra todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar verificar a base da indução e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a afirmação é verdadeira pro menor valor de , que é 6. Calculando:
Então, . Viu? A base da indução tá ok.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira pro algum número . Ou seja, estamos supondo que:
Esse é o nosso passo indutivo. Com essa suposição, queremos provar que a afirmação também vale pra .

Passo 4

Vamos verificar se :
Precisamos mostrar que:
Subtraindo de ambos os lados:
Vamos resolver a inequação . Calculando o discriminante:
As raízes são:
Como , as raízes são aproximadamente e . Para , a expressão é positiva, então nossa desigualdade vale.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

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Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 24 , para todo natural ímpar.
Resolva as seguintes inequações
(h)